Ортогонально инвариантные римановы метрики на вещественных грассмановых многообразиях

Анотація

Дается полное описание в целом двухпараметрического семейства всех возможных  $SO(4)$-инвариантных римановых метрик на вещественных грассмановых многообразиях $G_{2,4}$ и $G^+_{2,4}$. Формулируется некоторое экстремальное свойство, выделяющее каноническую метрику среди всех метрик такого семейства в случае многообразия $G^+_{2,4}$. На основе полученного дано новое, краткое геометрическое доказательство единственности (с точностью до постоянного множителя) инвариантных метрик на многообразиях $G_{p,n}$ и $G^+_{p,n}$ при $(p,n)\neq (2,4)$ и указана эта метрика. Использовано вложение грассмановых многообразий в пространстве поливекторов $\Lambda_{p,n}$, рассматриваемое как евклидово пространство размерности $n \choose p$. Внутренние вопросы геометрии грассмановых многообразий решаются средствами внешней геометрии.