Усреднение уравнений Максвелла на многообразиях сложной микроструктуры

Анотація

Рассматривается задача Коши для однородной системы уравнений Максвелла на четырехмерных многообразиях $\tilde{M}^4_\varepsilon=R^1_+\times M^3_\varepsilon$, где $M^3_\varepsilon$ - римановы многообразия сложной микроструктуры. $M^3_\varepsilon$ состоят из нескольких экземпляров пространства $R^3$ с большим числом дырок, соединенных посредством тонких трубок. Зависимость от малого параметра $\varepsilon >0$ такова, что число трубок неограниченно растет, а их толщина уменьшается при $\varepsilon\to 0$. Изучается асимптотическое поведение электромагнитного поля без зарядов и токов на $\tilde{M}^4_\varepsilon$ при $\varepsilon\to 0$. Получено, что плотность электрического заряда возникает в уравнениях Максвелла в результате усреднения.