О возможном ухудшении гладкости при операции свертки

Анотація

Пусть $\mu$ – вполне конечная борелевская (неотрицательная) мера на вещественной прямой $\mathbf{R}$. В статье получены условия на меру $\mu$, необходимые и достаточные для того, чтобы существовала целая функция $p$ , неотрицательная и интегрируемая на вещественной оси, такая что$$\mathrm{ess}\sup\{(p*\mu)(x): x\in I\}=\infty \; \mathrm{ для} \; \mathrm{любого } \;\mathrm{интервала} \;I\subset \mathbf{R}. \quad\!\!(*)$$Получены условия на меру $\mu$, достаточные для существования целой функции $p$ заданного роста в комплексной плоскости (в частности, целой конечного порядка $\varrho >1$), неотрицательной и интегрируемой на вещественной оси и удовлетворяющей условию (∗).