Выражение объема асимптотического параллелепипеда

Анотація

При изометрическом погружении области пространства Лобачевско- го $L^n$ в евклидово пространство $E^{2n-1}$ существует координатная сеть, составленная из асимптотических линий. С ее помощью строится $n$-мерный параллелепипед $P$, называемый асимптотическим. Рассматриваются свойства его объема $V$. В случае $n = 2$ известна формула Хацидакиса. Исходя из аналогии с этим случаем, Д. Мур высказал предположение о том, что объем $V$ можно выразить через значения углов $w_i$ между асимптотическими линиями в вершинах $P$ и он ограничен. Получено выражение $V$ для $P$ на универсальном накрытии 3- и 4-мерных аналогов псевдосферы и доказано, что объем $V$ ограничен универсальной постоянной. Доказано, что существуют погружения областей $L^3$ в $E^5$, для которых объем не выражается в виде альтернированной суммы значений одной функции двух переменных, зависящих от $w_i$.