К теореме И.И. Привалова о преобразовании Гильберта липшицевых функций

Анотація

Известно, что преобразование Гильберта h(f) ограниченной функции f, удовлетворяющей условию Липшица (порядка 1) на R, равномерно непрерывно (h понимается как сингулярный интегральный оператор с ядром Коши, регуляризованным в бесконечности, так что h определен на всех функциях, суммируемых на R по мере Пуассона). В статье показано, что эта теорема утрачивает силу (в весьма сильном смысле) при отказе от предположения ограниченности функции f. Найдены достаточные (и "почти необходимые") условия липшицевости функции h(f). Результаты имеют отношение к некоторым теоремам единственности анализа Фурье.