К теореме И.И. Привалова о преобразовании Гильберта липшицевых функций

Анотація

Известно, что преобразование Гильберта $h(f)$ ограниченной функции $f$, удовлетворяющей условию Липшица (порядка 1) на $\mathbb{R}$, равномерно непрерывно (h понимается как сингулярный интегральный оператор с ядром Коши, регуляризованным в бесконечности, так что $h$ определен на всех функциях, суммируемых на $\mathbb{R}$ по мере Пуассона). В статье показано, что эта теорема утрачивает силу (в весьма сильном смысле) при отказе от предположения ограниченности функции $f$. Найдены достаточные (и "почти необходимые") условия липшицевости функции $h(f)$. Результаты имеют отношение к некоторым теоремам единственности анализа Фурье.