Изометрические расширения коммутативных систем линейных операторов

Анотація

Для коммутативной системы линейных ограниченных операторов $\{T_1,T_2\}$, заданных в гильбертовом пространстве $H$, построено коммутативное изометрическое расширение $\left\{V_s,\stackrel{+}{V_s}\right\}_{s=1}^2$. Конструкция изометрической дилатации для двупараметрической полугруппы $T(n)=T_1^{n_1}T_2^{n_2}$ , где $n=(n_1;n_2)\in \mathbb{Z}_+^2$, опирается на характерные свойства данного коммутативного изометрического расширения. Описаны основные свойства характеристической функции $S(z)$, отвечающей коммутативному изометрическому расширению $\left\{V_s,\stackrel{+}{V_s}\right\}_{s=1}^2$. Доказан аналог теоремы Гамильтона-Кэли; показано, что в случае конечномерности дефектных подпространств системы $\{T_1,T_2\}$ существует полином $\mathbb{P}(z_1,z_2)$ такой, что $\mathbb{P}(T_1,T_2)=0$.