Хаpактеризация конформных отображений верхней полуплоскости на области типа "гребенки"

Анотація

Областью типа "гребенки" называется область вида $\{z\in \mathbb{C}:-\infty\leq a<\mathrm{Re} z<b\leq +\infty,\, \mathrm{Im} z>0\}\setminus \{ \cup[x_k,x_k+iy_k]\}$. Верхнюю полуплоскость с заданным замкнутым множеством $E$ на границе можно единственным образом конформно отобразить на некоторую область типа "гребенки", переводя множество $E$ в интервал $(a,b)$. Если при этом $a=-\infty$ и $b=+\infty$, то множество $E$ относится к типу $(A)$, если либо $a=-\infty$, $b<+\infty$, либо $a>-\infty$, $b=+\infty$, то $E$ относится к типу $(B)$, а если $-\infty<a<b<+\infty$, то к типу $(C)$. Приводятся некоторые условия того, что $E$ относится к типу $(A)$, $(B)$ или $(C)$.