Ортогонально инвариантные римановы метрики на вещественных грассмановых многообразиях

Анотація

Дается полное описание в целом двухпараметрического семейства всех возможных SO(4)-инвариантных римановых метрик на вещественных грассмановых многообразиях G_2,4 и G_2,4⁺. Формулируется некоторое экстремальное свойство, выделяющее каноническую метрику среди всех метрик такого семейства в случае многообразия G_2,4⁺. На основе полученного дано новое, краткое геометрическое доказательство единственности (с точностью до постоянного множителя) инвариантных метрик на многообразиях G_p,n и G_p,n⁺ при (p, n) ≠ (2,4) и указана эта метрика. Использовано вложение грассмановых многообразий в пространстве поливекторов Λ_{p,n}, рассматриваемое как евклидово пространство размерности {n} choose {p}. Внутренние вопросы геометрии грассмановых многообразий решаются средствами внешней геометрии.