Об интеграле Вебера-Шафхейтлина

Анотація

Пусть $L^p_\lambda$ — пространство функций на полуоси с нормой $||f||^p_{p,\lambda}=\int_0^\infty |f(x)|^px^{-\lambda}dx$. В работе рассмотрены операторы $A_\mu$ мультипликативной свертки с функцией Бесселя $A_\mu f(x)=\int_0^\infty J_\mu(xt) f(t)t^{-\lambda}dt$ и установлены их следующие свойства. Операторы $A_\mu, \mu>0$, ограничены в $L^2(\lambda), -1\le\lambda\le1$. $A_\mu, \mu>0$, ограничены в $L^p_\lambda$, $1\le p\le \infty$, но $A_0$ не ограничен в $L^p_1$, $1\le p\le \infty$. Операторы $A_\mu$ не ограничены в $L^p_\lambda$, $p\neq2, -1\le\lambda\le 1$. При определенных соотношениях между величинами $(\mu, \nu, \lambda, p)$ произведения $A_\nu A_\mu$ ограничены в $L^p_\lambda$.