Factor-representation of the group GL(∞) and admissible representations GL(∞)X

Анотація

Статья является первой из трех частей работы, в которой изучаются фактор-представления типа III группы $GL(\infty)$. Пусть $\mathfrak{A}$ — конечномерная комплексная алгебра с единицей $\mathbf{1}_\mathfrak{A}$, $G(\mathfrak{A})$ — группа всех бесконечных обратимых матриц со значениями в $\mathfrak{A}$. Здесь получена полная классификация унитарных представлений $G(\mathfrak{A})$, сферических относительно унитарной подгруппы $U(\infty)\subset GL(\infty)=G(\mathbb{C}\mathbf{1}_\mathfrak{A})\subset G(\mathfrak{A})$. С каждым из них связан класс фактор-представлений $\Pi$ группы $GL(\infty)$, обладающих тем свойством, что в пространстве представления $H_\Pi$ существует ненулевой вектор $\xi$, для которого $\varphi(g)=(\Pi(g)\xi,\xi)=\varphi(ugu^*)$ при всех $u\in U(\infty)$. В следующих частях будет дано полное описание представлений, удовлетворяющих этому условию.