Устойчивость решений уравнений Минковского и Брунна

Анотація

Доказаны следующие теоремы устойчивости решений уравнений Минковского и Брунна.

Теорема 1. Если $$V_1^n(A,X)-V(X)V^{n-1}(A)<\varepsilon , 0\le\varepsilon<\varepsilon_0, V(X)=V(sA), s>0,$$ то $\delta(sA,X)<C\varepsilon^{1/n}$.

Теорема 2. Если $$V^{1/n}(H_{1/2})-\frac{1}{2}V^{1/n}(A)-\frac{1}{2}V^{1/n}(X)<\varepsilon , 0\le\varepsilon<\varepsilon_0,$$ $V(X)=V(sA),  s>0,$ то $\delta(sA,X)<C\varepsilon^{1/n}$.

В этих теоремах $A$ и $X$ — выпуклые тела в $R^n$, $V(A)$ — объем $A$, $V_1(A,X)$, — первый смешанный объем $A$ и $X$, $H_{1/2}=\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}X$, $\delta(sA,X)$ — отклонение тел $sA$ и $X$, $C$ и $\varepsilon_0$ определяются заданием $s$, $n$, $r_A$ и $R_A$ ($r_A$ и $R_A$ — радиусы вписанного в $A$ и описанного около $A$ шаров).