Уточнения изопериметрического неравенства геометрии Минковского

Анотація

Доказаны следующие уточнения изопериметрического неравенства $n-$мерного пространства Минковского  $M^n$ $(n\ge 2)$  с нормирующим телом $B$ [3]: $$S_B^{\frac{n}{n-1}}(A)-(n^nV_B(I))^{\frac{1}{n-1}}V_B(A)\ge (S_B^{\frac{n}{n-1}}(A)-\rho(nV_B(I))^{\frac{1}{n-1}})^n
$$ $$
-(n^nV_B(I))^{\frac{1}{n-1}}V_B(A_{-\rho}(I)),
$$ $$
S_B^{\frac{n}{n-1}}(A)-(n^nV_B(I_A))^{\frac{1}{n-1}}V_B(A)\ge (S_B^{\frac{n}{n-1}}(A)-\rho(nV_B(I_A))^{\frac{1}{n-1}})^n
$$ $$
-(n^nV_B(I_A))^{\frac{1}{n-1}}V_B(A_{-\rho}(I))
$$ и ряд их следствий, среди которых уточнение (11) изопериметрического неравенства в $M^n$, учитывающее как особенности на границе тела $A$, так и отклонение тел $A$ и $I_A$ от гомотетичности, уточнение (13) неравенства Хадвигера из [5] в $M^n$ с учетом невырожденности $A_{-q}(I)$, обобщение (15) неравенства Вилльса из [7] на  $M^n$. В приведенных неравенствах $A$ - выпуклое тело, $I$ - изопериметрикс, $I_A$ - форм-тело тела $A$ относительно $I$, $q$ - коэффициент вместимости $I$ в $A$, $\rho\in [0,q]$, $A_{-\rho}(I)$ - внутреннее тело, параллельное телу $A$ относительно $I$ на расстоянии $\rho$, $V_B(A)$ - объем тела $A$, $S_B(A)$ - площадь поверхности тела $A$ в $M^n$ [3].