О поведении изопериметрической разности при переходе к параллельному телу и одном уточнении обобщенного неравенства Хадвигера

Анотація

Доказаны следующие неравенства:
 $$V_1^n(A,B)-V(B)V^{n-1}(A)\ge V_1^n(A_{-p}(B),B)-V(B)V^{n-1}(A_{-p}(B)),$$ \begin{multline}V_1^n(A,B)-V(B_A)V^{n-1}(A)\ge V_1^n(A_{-p}(B),B)-\\V(B_A)V^{n-1}(A_{-p}(B)),\end{multline}$$S^n(A,B)\ge n^n V(B_A)V^{n-1}(A)+S^n(A_{-q}(B),B),$$ в которых $V(A)$, $V(B)$ — объемы выпуклых тел $A$ и $B$ в $\mathbb{R}^n$ ($n\ge 2$), $V_1(A,B)$ —  первый смешанный объем тел $A$ и $B$, $S(A,B)=nV_1(A,B)$, $q$ — коэффициент вместимости $B$ в $A$, $p\in [0,q]$, $A_{-p}(B)$ — внутреннее тело, параллельное телу $A$ относительно $B$ на расстоянии $p$, $B_A$ — форм-тело тела $A$ относительно $B$. Левая часть первого неравенства — изопериметрическая разность для $A$ относительно $B$. Первое неравенство утверждает, что при переходе от $A$ к $A_{-p}(B)$ изопериметрическая разность относительно $B$ не увеличивается. Второе неравенство уточняет первое с учетом особенностей на границе тела $A$ относительно $B$. Третье уточняет обобщение неравенства Хадвигера [4] с учетом невырожденности $A_{-q}(B)$.